Filter

1. 필터란란

• 신호에서 생기는 노이즈를 제거하는 역할을 한다.
• 대표적 예시 : MAF IIR 필터 FIR 필터

2. 필터의 종류

1. Low pass Filter

Low pass Filter는 낮은 주파수 영역의 신호만 통과시키는 필터이다.

2. High pass Filter

High pass Filter는 높은 주파수 영역의 신호만 통과시키는 필터이다.

3. band pass Filter

band pass Filter는 일정한 구간 내의 신호를 통과시키는 필터이다.

4. band stop Filter

band stop Filter는 일정한 구간 이외의 신호를 통과시키는 필터이다.

3. Digital Filter

• 디지털 필터는 아날로그 필터의 성능을 높이기 위해 고안된 필터이다.

1. MAF(Moving Average Filter)

• Moving Average 필터 (이동 평균 필터)는 가장 간단하면서도 널리 사용되는 디지털 필터 중 하나이다.
  
• 일정 개수의 최근 입력 신호 값을 평균 내어 출력으로 사용하는 방식으로, 노이즈 제거와 신호 평활화(Smoothing) 에 효과적이다.

1. 수식표현

윈도우 크기가 N일 때, 시점 n에서의 출력 y[n]은:

$$ y[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} x[n-k] $$

여기서,

• ( $$x[n]$$ ) : 입력 신호
• ( $$y[n]$$ ) : 출력 신호
• ( $$N$$ ) : 윈도우 크기

2. 장점

• 구현이 매우 간단하다.
• 고주파 잡음을 효과적으로 제거할 수 있다.
• 선형 위상 특성을 가진다 (위상 왜곡이 없음).

3. 단점

• 신호의 급격한 변화(에지, 피크)를 희석시켜 손실을 유발할 수 있다.
• 모든 주파수 성분을 동일하게 평활화하여, 원하는 대역만 선택적으로 필터링하기 어렵다.
• 큰 윈도우 크기를 사용할수록 반응 속도가 느려진다.

4. 코드 예시

파이썬 코드

import numpy as np

def moving_average(x, N):
    return np.convolve(x, np.ones(N)/N, mode='valid')

# 예제 데이터
data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

# 윈도우 크기 3으로 이동 평균 적용
filtered = moving_average(data, 3)
print(filtered)  # [2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.]

C언어 코드

#include<stdio.h>
int main()
{
    int arr[10]={0};        //데이터를 저장할 배열
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        int sum=0;         // 합을 저장할 변수
        arr[i]=input_data; //입력할 데이터를 배열에 저장
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            sum+=arr[j];   // 배열의 요소를 하나씩 더함
        } 
        int Filter=sum/10; // 필터링 결과
    }
    return 0;
}

2. IIR Filter(Infinite Impulse Response Filter)

• IIR 필터는 "무한 임펄스 응답 필터"라는 뜻으로, 출력이 과거의 입력뿐만 아니라 과거의 출력 값에도 의존하는 디지털 필터이다. 이로 인해 필터의 임펄스 응답이 이론적으로 무한히 지속되는 특징을 가진다.
• 출력이 과거의 입력과 출력 모두에 의존하기에 임펄스 응답이 무한대이다.

1. 수식표현

일반적인 IIR 필터는 다음과 같은 **차분방정식(difference equation)**으로 표현된다.

$$ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot y[n-k] $$

여기서,

• ( $$x[n]$$ ): 입력 신호
• ( $$y[n]$$ ): 출력 신호
• ( $$b_k$$ ): 분자 계수 (Feedforward 계수)
• ( $$a_k$$ ): 분모 계수 (Feedback 계수)
• ( $$M$$ ): FIR 부분의 차수
• ( $$N$$ ): IIR 부분의 차수

2. 장점

• 효율적: 같은 주파수 응답을 얻을 때 FIR보다 차수가 낮아 연산량이 적다.
• 메모리 절약: 적은 계수로 원하는 필터 특성을 구현 가능.
• 아날로그 필터와 유사: Butterworth, Chebyshev, Elliptic 등의 아날로그 필터를 디지털로 구현 가능.

3. 단점

• 위상 왜곡 발생 가능 (선형 위상이 아님).
• 시스템이 불안정해질 수 있음 (폴이 단위원(Unit circle) 밖에 존재하면 불안정).
• 구현 및 설계가 FIR보다 복잡.

4. 주파수 응답

IIR 필터는 전달 함수(Transfer Function)로 표현할 수 있다.

$$ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}} $$

• 분모(denominator)가 존재하기 때문에 무한 응답이 발생.
• 폴(pole)과 제로(zero)의 위치에 따라 주파수 특성이 결정됨.

5. 코드 예시

파이썬 코드

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# Butterworth 저역통과 IIR 필터 설계
b, a = signal.butter(N=4, Wn=0.2)  # 차수 4, 차단 주파수 0.2 (정규화)

# 주파수 응답
w, h = signal.freqz(b, a)

plt.plot(w/np.pi, 20*np.log10(abs(h)))
plt.title("IIR Filter (Butterworth) Frequency Response")
plt.xlabel("Normalized Frequency")
plt.ylabel("Magnitude (dB)")
plt.grid()
plt.show()

C언어 코드

#include<stdio.h>
int main()
{
    double a=0.2; // 필터계수
    double x[10]; //입력신호
    double y[10]; //출력신호
    y[0]=a*x[0];

    for (int n = 1; n < 10; n++) {
        y[n] = a * x[n] + (1.0 - a) * y[n - 1];
    }
    return 0;
}

3. FIR Filter(Finite Impulse Response Filter)

• FIR 필터는 "유한 임펄스 응답 필터"라는 뜻으로, 출력이 과거의 입력 값들에만 의존하는 디지털 필터이다.
  임펄스 응답이 일정 길이 이후에 0이 되기 때문에 "유한"이라고 부른다.
• 출력이 과거의 입력 값에만 의존하기에 임펄스 응답이 유한하다.

1. 수식표현현

FIR 필터의 출력은 다음과 같은 차분방정식으로 정의된다:

$$ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k] $$

여기서,

• ( $$x[n]$$ ): 입력 신호
• ( $$y[n]$$ ): 출력 신호
• ( $$b_k$$ ): 필터 계수 (임펄스 응답)
• ( $$M$$ ): 필터 차수 (계수 개수 - 1)

즉, 출력은 입력 샘플들의 가중합(Weighted Sum) 으로 표현된다.

2. 장점

• 항상 안정적이다 (피드백이 없기 때문).
• 선형 위상(Linear Phase) 설계 가능 → 신호의 파형 왜곡이 적다.
• 구현이 단순하고 직관적이다.

3. 단점

• 동일한 성능을 얻기 위해서는 IIR보다 높은 차수가 필요 → 연산량 증가.
• 실시간 시스템에서는 계산량이 부담될 수 있다.

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4. 주파수 응답

FIR 필터의 전달 함수는 다음과 같이 표현된다:

$$ H(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} $$

즉, 분모(denominator)가 없으므로 유한 임펄스 응답이 된다.

5. 코드 예시

파이썬 코드

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# FIR 저역통과 필터 설계 (윈도우법, Hamming)
numtaps = 21   # 필터 계수 개수
cutoff = 0.3   # 정규화 차단 주파수
b = signal.firwin(numtaps, cutoff, window="hamming")

# 주파수 응답
w, h = signal.freqz(b)

plt.plot(w/np.pi, 20*np.log10(abs(h)))
plt.title("FIR Filter (Low-pass, Hamming Window)")
plt.xlabel("Normalized Frequency")
plt.ylabel("Magnitude (dB)")
plt.grid()
plt.show()

C언어 코드

#include<stdio.h>
int main()
{
    double b[5]={0.3,0.3,0.3,0.3,0.3}; // 필터계수 5
    double x[10]; //입력신호
    double y[10]; //출력신호
    y[0]=a*x[0];

    for (int n = 0; n < 10; n++) {
        for (int k = 0; k < 5; k++) {
            if (n - k >= 0) {
                y[n] += b[k] * x[n - k];
            }
        }
    }
    return 0;
}